مجموعه‌ها

۱مجموعه و نمایش آن

مجموعه گردایه‌ای از اشیای مشخص و متمایز است. ترتیب و تکرار عضوها اهمیتی ندارد: {۱، ۲، ۲، ۳} = {۳، ۲، ۱}. «عضو است» را با ∈ و «عضو نیست» را با ∉ می‌نویسیم.

سه راه نمایش: فهرست عضوها {۱، ۲، ۳، ۴}، نمودار ون، و نماد ریاضی: A = {x ∈ N | x < ۵} یعنی «همه‌ی x‌های طبیعی که از ۵ کمترند» = {۱، ۲، ۳، ۴}.

مجموعه‌های عددی: N = {۱، ۲، ۳، …} طبیعی، W = {۰، ۱، ۲، …} حسابی، Z = {…، −۱، ۰، ۱، …} صحیح، Q عددهای گویا (به شکل a/b با a و b صحیح و b ≠ ۰). داریم N ⊆ W ⊆ Z ⊆ Q.

۲زیرمجموعه و مجموعه‌ی تهی

A ⊆ B یعنی هر عضو A عضو B هم هست. مجموعه‌ی تهی ∅ = { } زیرمجموعه‌ی هر مجموعه است و هر مجموعه زیرمجموعه‌ی خودش است. مجموعه‌ی n عضوی ۲ⁿ زیرمجموعه دارد. A = B یعنی هم A ⊆ B و هم B ⊆ A.

۳اجتماع، اشتراک، تفاضل

• A ∪ B: عضوهایی که دست‌کم در یکی از دو مجموعه‌اند.
• A ∩ B: عضوهای مشترک. اگر A ∩ B = ∅ دو مجموعه جدا از هم‌اند.
• A − B: عضوهایی که در A هستند و در B نیستند. در حالت کلی A − B ≠ B − A.

در نمودار ون دو مجموعه سه ناحیه‌ی جدا دارند: A − B و A ∩ B و B − A؛ اجتماع این سه همان A ∪ B است.

۴تعداد عضوها؛ متناهی و نامتناهی

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) و n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B). در سه مجموعه از نمودار ون کمک بگیر و از ناحیه‌ی وسط (اشتراک هر سه) شروع کن.

مجموعه‌ای که شمردن عضوهایش تمام می‌شود متناهی است (حتی اگر خیلی بزرگ باشد، مثل عددهای طبیعی کمتر از یک میلیارد). N، عددهای زوج و عددهای گویای بین ۰ و ۱ نامتناهی‌اند. ∅ متناهی است.

۵نکته‌های تستی

• A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B.
• اگر A ⊆ B آنگاه A ∪ B = B و A ∩ B = A و A − B = ∅. برعکس، هر کدام از این سه تساوی نتیجه می‌دهد A ⊆ B.
• برای رد یک گزاره‌ی «حتماً درست»، یک مثال نقض کافی است. مثال‌های ساده: C بزرگ، یا یکی از مجموعه‌ها تهی.
• تعداد زیرمجموعه‌هایی که عضو معین a را دارند ۲ⁿ⁻¹ است (نصف همه).
• مجموعه‌ای که با نامعادله تعریف شده را اول به‌صورت فهرست بنویس؛ به نوع عدد (N یا W یا Z) دقت کن.

۶ سؤال رایگان این درس

۳۹ سؤال دیگر این درس در تیزهوش است.