۱گسترده‌ی مکعب
اگر مکعب را از روی چند یال ببُریم و باز کنیم، شش مربعِ چسبیده به هم به دست می‌آید که به آن گسترده می‌گوییم. از ۳۵ شکلی که با شش مربع می‌شود ساخت، فقط ۱۱ شکل گسترده‌ی مکعب‌اند. شکلی که مربعِ ۲×۲ داشته باشد یا پنج مربع پشت سر هم، هیچ‌وقت مکعب نمی‌شود؛ چون در مکعب فقط سه وجه دور یک رأس جمع می‌شوند و در یک ردیف حداکثر چهار وجه پشت هم می‌آیند.
۲پیدا کردن وجه‌های روبه‌رو
- دو مربع در یک ردیف که دقیقاً یک مربع بینشان باشد، روبه‌روی هم‌اند.
- دو سرِ یک «پله» (چهار مربع به شکل Z یا S) روبه‌روی هم‌اند.
- هر وجه با چهار وجه ضلع مشترک دارد و فقط با یکی نه؛ همان یکی روبه‌روی آن است.
- دو وجه روبه‌رو هیچ‌وقت با هم در یک نما دیده نمی‌شوند.
۳جهت نشانه‌ها
وقتی روی وجه‌ها پیکان یا نیمه‌ی سیاه هست، فقط «کدام وجه کنار کدام است» کافی نیست. قاعده‌ی طلایی: نشانه نسبت به وجه‌های کنارش ثابت می‌ماند. اگر در گسترده پیکانِ وجه A رو به وجه B است، در مکعب هم رو به B است. دور هر رأس مکعب هم سه وجه با ترتیبِ ساعتگردِ ثابت قرار دارند؛ مکعبی که این ترتیب در آن برعکس باشد، تصویر آینه‌ای است و ساخته نمی‌شود.
۴تاس و مجموع وجه‌ها
در تاس معمولی مجموع هر دو وجه روبه‌رو ۷ است، پس مجموع شش وجه ۲۱ و مجموع چهار وجه کناری همیشه ۲۱ − ۷ = ۱۴ است. در مسئله‌های «بیشترین مجموعِ وجه‌های دیده‌شده»، بپرس کدام وجه‌ها پنهان‌اند و آیا روبه‌روی هم‌اند یا کنار هم. کف و بالای یک مکعب روبه‌روی هم‌اند؛ سه وجهی که در یک گوشه دیده می‌شوند از هر جفت روبه‌رو یکی‌اند.
۵مکعب رنگ‌شده‌ی بریده‌شده
مکعب n×n×n که همه‌ی وجه‌هایش رنگ شده، به n³ مکعب کوچک بریده می‌شود:
- سه وجه رنگی: گوشه‌ها، همیشه ۸ تا.
- دو وجه رنگی: روی ۱۲ یال، غیرگوشه: ۱۲(n−۲).
- یک وجه رنگی: وسط ۶ وجه: ۶(n−۲)².
- بی‌رنگ: مکعبِ درونی: (n−۲)³.
برای جعبه‌ی a×b×c همین فکر را با (a−۲)، (b−۲) و (c−۲) به کار ببر. اگر بعضی وجه‌ها رنگ نشده باشند، فرمول را حفظ نکن؛ یال‌ها و گوشه‌ها را یکی‌یکی بررسی کن.
حل: ۱۲ × (۵ − ۲) = ۳۶.
حل: مربع بالا و مربع پایین هر دو به مربع دوم چسبیده‌اند و یک مربع بینشان است؛ پس روبه‌روی هم‌اند.
حل: در دو تاس پایینی کف و بالا پنهان‌اند که جمعشان ۷ است: ۱۴. در تاس بالایی فقط کف پنهان است: ۷ − ۶ = ۱. جمع: ۱۵.
حل: ۳ × ۴ × ۳ = ۳۶ و ۳۶ − ۲۰ = ۱۶.
۶ سؤال رایگان این درس
مکعب را از روی چند یال می‌بُریم و باز می‌کنیم تا شش مربعِ به هم چسبیده روی میز پهن شود. چند گسترده‌ی مختلف برای مکعب وجود دارد؟ (گسترده‌هایی که با چرخاندن یا برگرداندن روی هم می‌افتند یکی‌اند.)
همه‌ی وجه‌های یک مکعب بزرگ را رنگ کرده و آن را به مکعب‌های کوچکِ هم‌اندازه بریده‌ایم. ۹۶ مکعب کوچک دقیقاً یک وجه رنگی دارند. مکعب بزرگ از چند مکعب کوچک ساخته شده بود؟
مکعب بزرگی را که همه‌ی وجه‌هایش رنگ شده، به مکعب‌های کوچکِ هم‌اندازه بریده‌ایم. تعداد مکعب‌های کوچکِ بی‌رنگ با تعداد مکعب‌هایی که دقیقاً یک وجه رنگی دارند برابر است و این تعداد صفر نیست. روی هر یال مکعب بزرگ چند مکعب کوچک بوده است؟
همه‌ی وجه‌های مکعب‌مستطیلی به ابعاد ۳ × ۴ × ۵ را رنگ کرده و آن را به ۶۰ مکعب کوچکِ یک‌سانتی‌متری بریده‌ایم. چند مکعب کوچک دقیقاً یک وجه رنگی دارند؟
سه تاس معمولی (جمع عددهای هر دو وجه روبه‌رو ۷) را روی میز، روی هم گذاشته‌ایم و عدد بالای تاسِ بالایی ۵ است. مجموع عددهای وجه‌هایی که دیده نمی‌شوند (کف تاس‌ها و وجه‌هایی که به هم چسبیده‌اند) چند است؟
تاس معمولی‌ای (جمع وجه‌های روبه‌رو ۷) روی میز است؛ عدد بالا ۱ و عدد وجهِ رو به ما ۲ است. تاس را سه بار پشت سر هم به طرف خودمان می‌غلتانیم (هر بار روی یالِ پایینِ جلویی). در پایان عدد بالا چند است؟
۸۵ سؤال دیگر این درس در تیزهوش است.