در کلاس دوم معلمها بارها کودکی را میبینند که «چهل و سه» را «۳۴» مینویسد، و در پایهٔ پنجم کسی را که خیال میکند ضرب در ۱۰ یعنی «یک صفر بگذار»، حتی کنار ۳٫۴. هر دو خطا از یک جا میآیند: جای رقم هنوز معنا پیدا نکرده است. بسکتبال دهتایی عدد را با دستههای دهتایی و مکعبهای یکی نشان میدهد، مثل تصویرهای کتاب. پایهٔ دوم دورقمیها، یازده تا نوزده و «ده یکی، یک دهتایی» را دارد، پایهٔ سوم صدتایی و صفر وسط عدد، و پایهٔ پنجم دهم و صدم و جابهجا شدن رقمها با ضرب و تقسیم بر ۱۰ و ۱۰۰.
دستهٔ باز، تلهٔ آشنا
گاهی روی میز چهارده مکعب یکیِ تنها کنار چند دهتایی است. کودکی که فقط رقمها را کنار هم میگذارد به جواب غلط میرسد؛ کودکی که ده یکی را در ذهن یک دهتایی میکند، درست میزند. این همان «دسته کردن» کتاب است که بعدها پایهٔ جمع با انتقال میشود. مرحلههای جداگانهٔ «ده یکی، یک دهتایی» این دسته کردن را بارها تکرار میکنند.
گزینههایی از جنس خطای کلاس
توپهای غلط تصادفی نیستند؛ یکی از آنها معمولاً همان خطای رایج است، مثل وارونه خواندن رقمها (۳۴ بهجای ۴۳) یا عوض شدن ستون اشتباه. کودک بارها میان جواب درست و اشتباه آشنایش انتخاب میکند، و همین مقایسه است که فهم را محکم میکند. عددهای یازده تا نوزده و صفر وسط عدد هم که تلهٔ همیشگیاند، هر کدام مرحلهٔ جداگانهٔ خودشان را دارند.
رقمها جابهجا میشوند
در پایهٔ پنجم، بعد از هر ضرب یا تقسیم بر ۱۰ و ۱۰۰، کودک در جدول ارزش مکانی میبیند رقمها یک یا دو ستون جابهجا شدهاند. این تصویر، قاعدهٔ «ممیز را جابهجا کن» را از یک دستور حفظی به چیزی دیدنی تبدیل میکند و جلوی جوابهایی مثل ۳٫۴۰ برای ۳٫۴ × ۱۰ را میگیرد.
اول خواندن، بعد ساختن
در هر مفهوم، کودک اول عدد چیدهشده روی میز را میخواند و توپش را انتخاب میکند، و بعد خودش عدد را با چیدن دستهها میسازد. اگر قطعهای کم یا زیاد بگذارد، بازی میگوید کدام دسته کم یا زیاد است، و وقتی ده یکی جمع شود، جلوی چشمش یک دهتایی میشوند. پس کودک هم از دسته به عدد میرسد و هم از عدد به دسته.